二分法

def sqrtb(n):
 if n<0: raise ValueError('n>=0')
 left,right,x=0,n,n/2
 while not -1e-15<x*x-n<1e-15:
  if x*x>n:
right,x = x,left+(x-left)/2
  else:
left,x = x,right-(right-x)/2
 return x

求最接近算術平方根的整數(shù)

def sqrtB(x):
 if x==0: return 0
 #y,x=x,round(x)
 left,right,ret = 1,x,0
 while left<=right:
  mid = left + (right-left)//2
  if mid<x/mid:
left = mid+1
ret = mid
  elif mid==x/mid:
ret = mid
break
  else:
right = mid-1
 return ret

>>> sqrtB(9)
3
>>> sqrtB(8)
2
>>> sqrtB(9.2)
3.0
>>> sqrtB(7.8)
2.0
>>> sqrtB(4)
2
>>>

二分法原理

牛頓迭代法

def sqrtn(n):
 if n<0: raise ValueError('n>=0')
 x = n/2
 while not -1e-15<x*x-n<1e-15:
  x = (x+n/x)/2
 return x

一點小改進：不用1e-15來比較

def sqrt2(n):
 x = n
 while x*x>n:
  x = (x+n/x)/2
 return x

缺點：碰到n=7,13,...等，會進入死循環(huán)

增加判斷跳出循環(huán)：

def sqrt(n):
 x = n
 while x*x>n:
  y,x = x,(x+n/x)/2
  if y==x: break
 return x

# sqrt(n) n=1~25的精度測試：

0.0
-2.220446049250313e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-4.440892098500626e-16
0.0
-4.440892098500626e-16
0.0
0.0
4.440892098500626e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
8.881784197001252e-16
-8.881784197001252e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
>>>

牛頓迭代法原理

從函數(shù)意義上理解：要求函數(shù)f(x)=x²，使f(x)=num的近似解，即x²-num=0的近似解。

從幾何意義上理解：要求拋物線g(x)=x²-num與x軸交點（g(x)=0）最接近的點。

假設g(x0)=0，即x0是正解，讓近似解x不斷逼近x0，x0 ~ x - f(x)/f'(x)

def cubeN(n):
 x,y = n/3,0
 while not -1e-15<x-y<1e-15:
  y,x = x,(2/3)*x+n/(3*x*x)
 return x
'''
>>> cubeN(27)
3.0
>>> cubeN(9)
2.080083823051904
>>>
'''

總結

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