說起交叉熵?fù)p失函數(shù)「Cross Entropy Loss」，腦海中立馬浮現(xiàn)出它的公式：

我們已經(jīng)對(duì)這個(gè)交叉熵函數(shù)非常熟悉，大多數(shù)情況下都是直接拿來使用就好。但是它是怎么來的？為什么它能表征真實(shí)樣本標(biāo)簽和預(yù)測(cè)概率之間的差值？上面的交叉熵函數(shù)是否有其它變種？

1.交叉熵?fù)p失函數(shù)的推導(dǎo)

我們知道，在二分類問題模型：例如邏輯回歸「Logistic Regression」、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)「Neural Network」等，真實(shí)樣本的標(biāo)簽為 [0，1]，分別表示負(fù)類和正類。模型的最后通常會(huì)經(jīng)過一個(gè) Sigmoid 函數(shù)，輸出一個(gè)概率值，這個(gè)概率值反映了預(yù)測(cè)為正類的可能性：概率越大，可能性越大。
Sigmoid 函數(shù)的表達(dá)式和圖形如下所示：

其中 s 是模型上一層的輸出，Sigmoid 函數(shù)有這樣的特點(diǎn)：s = 0 時(shí)，g(s) = 0.5；s >> 0 時(shí)， g ≈ 1，s << 0 時(shí)，g ≈ 0。顯然，g(s) 將前一級(jí)的線性輸出映射到 [0，1] 之間的數(shù)值概率上。這里的 g(s) 就是交叉熵公式中的模型預(yù)測(cè)輸出 。

我們說了，預(yù)測(cè)輸出即 Sigmoid 函數(shù)的輸出表征了當(dāng)前樣本標(biāo)簽為 1 的概率：

很明顯，當(dāng)前樣本標(biāo)簽為 0 的概率就可以表達(dá)成：

重點(diǎn)來了，如果我們從極大似然性的角度出發(fā)，把上面兩種情況整合到一起：

不懂極大似然估計(jì)也沒關(guān)系。我們可以這么來看：

當(dāng)真實(shí)樣本標(biāo)簽 y = 0 時(shí)，上面式子第一項(xiàng)就為 1，概率等式轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)真實(shí)樣本標(biāo)簽 y = 1 時(shí)，上面式子第二項(xiàng)就為 1，概率等式轉(zhuǎn)化為：

兩種情況下概率表達(dá)式跟之前的完全一致，只不過我們把兩種情況整合在一起了。

重點(diǎn)看一下整合之后的概率表達(dá)式，我們希望的是概率 P(y|x) 越大越好。首先，我們對(duì) P(y|x) 引入 log 函數(shù)，因?yàn)?log 運(yùn)算并不會(huì)影響函數(shù)本身的單調(diào)性。則有：

我們希望 log P(y|x) 越大越好，反過來，只要 log P(y|x) 的負(fù)值 -log P(y|x) 越小就行了。那我們就可以引入損失函數(shù)，且令 Loss = -log P(y|x)即可。則得到損失函數(shù)為：

非常簡(jiǎn)單，我們已經(jīng)推導(dǎo)出了單個(gè)樣本的損失函數(shù)，是如果是計(jì)算 N 個(gè)樣本的總的損失函數(shù)，只要將 N 個(gè) Loss 疊加起來就可以了：

這樣，我們已經(jīng)完整地實(shí)現(xiàn)了交叉熵?fù)p失函數(shù)的推導(dǎo)過程。

2. 交叉熵?fù)p失函數(shù)的直觀理解

我已經(jīng)知道了交叉熵?fù)p失函數(shù)的推導(dǎo)過程。但是能不能從更直觀的角度去理解這個(gè)表達(dá)式呢？而不是僅僅記住這個(gè)公式。好問題！接下來，我們從圖形的角度，分析交叉熵函數(shù)，加深理解。

首先，還是寫出單個(gè)樣本的交叉熵?fù)p失函數(shù)：

我們知道，當(dāng) y = 1 時(shí)

這時(shí)候，L 與預(yù)測(cè)輸出的關(guān)系如下圖所示：

看了 L 的圖形，簡(jiǎn)單明了！橫坐標(biāo)是預(yù)測(cè)輸出，縱坐標(biāo)是交叉熵?fù)p失函數(shù) L。顯然，預(yù)測(cè)輸出越接近真實(shí)樣本標(biāo)簽 1，損失函數(shù) L 越小；預(yù)測(cè)輸出越接近 0，L 越大。因此，函數(shù)的變化趨勢(shì)完全符合實(shí)際需要的情況。

當(dāng) y = 0 時(shí)：

這時(shí)候，L 與預(yù)測(cè)輸出的關(guān)系如下圖所示：

同樣，預(yù)測(cè)輸出越接近真實(shí)樣本標(biāo)簽 0，損失函數(shù) L 越??；預(yù)測(cè)函數(shù)越接近 1，L 越大。函數(shù)的變化趨勢(shì)也完全符合實(shí)際需要的情況。

從上面兩種圖，可以幫助我們對(duì)交叉熵?fù)p失函數(shù)有更直觀的理解。無論真實(shí)樣本標(biāo)簽 y 是 0 還是 1，L 都表征了預(yù)測(cè)輸出與 y 的差距。

另外，重點(diǎn)提一點(diǎn)的是，從圖形中我們可以發(fā)現(xiàn)：預(yù)測(cè)輸出與 y 差得越多，L 的值越大，也就是說對(duì)當(dāng)前模型的 “ 懲罰 ” 越大，而且是非線性增大，是一種類似指數(shù)增長(zhǎng)的級(jí)別。這是由 log 函數(shù)本身的特性所決定的。這樣的好處是模型會(huì)傾向于讓預(yù)測(cè)輸出更接近真實(shí)樣本標(biāo)簽 y。

3. 交叉熵?fù)p失函數(shù)的其它形式

什么？交叉熵?fù)p失函數(shù)還有其它形式？沒錯(cuò)！我剛才介紹的是一個(gè)典型的形式。接下來我將從另一個(gè)角度推導(dǎo)新的交叉熵?fù)p失函數(shù)。

這種形式下假設(shè)真實(shí)樣本的標(biāo)簽為 +1 和 -1，分別表示正類和負(fù)類。有個(gè)已知的知識(shí)點(diǎn)是Sigmoid 函數(shù)具有如下性質(zhì)：

這個(gè)性質(zhì)我們先放在這，待會(huì)有用。

好了，我們之前說了 y = +1 時(shí)，下列等式成立：

如果 y = -1 時(shí)，并引入 Sigmoid 函數(shù)的性質(zhì)，下列等式成立：

重點(diǎn)來了，因?yàn)?y 取值為 +1 或 -1，可以把 y 值帶入，將上面兩個(gè)式子整合到一起：

這個(gè)比較好理解，分別令 y = +1 和 y = -1 就能得到上面兩個(gè)式子。

接下來，同樣引入 log 函數(shù)，得到：

要讓概率最大，反過來，只要其負(fù)數(shù)最小即可。那么就可以定義相應(yīng)的損失函數(shù)為：

還記得 Sigmoid 函數(shù)的表達(dá)式吧？將 g(ys) 帶入：

好咯，L 就是我要推導(dǎo)的交叉熵?fù)p失函數(shù)。如果是 N 個(gè)樣本，其交叉熵?fù)p失函數(shù)為：

接下來，我們從圖形化直觀角度來看。當(dāng) y = +1 時(shí)：

這時(shí)候，L 與上一層得分函數(shù) s 的關(guān)系如下圖所示：

橫坐標(biāo)是 s，縱坐標(biāo)是 L。顯然，s 越接近正無窮，損失函數(shù) L 越?。籹 越接近負(fù)無窮，L 越大。

另一方面，當(dāng) y = -1 時(shí)：

這時(shí)候，L 與上一層得分函數(shù) s 的關(guān)系如下圖所示：

同樣，s 越接近負(fù)無窮，損失函數(shù) L 越??；s 越接近正無窮，L 越大。

4.總結(jié)

本文主要介紹了交叉熵?fù)p失函數(shù)的數(shù)學(xué)原理和推導(dǎo)過程，也從不同角度介紹了交叉熵?fù)p失函數(shù)的兩種形式。第一種形式在實(shí)際應(yīng)用中更加常見，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等復(fù)雜模型；第二種多用于簡(jiǎn)單的邏輯回歸模型。

需要注意的是：第一個(gè)公式中的變量是sigmoid輸出的值，第二個(gè)公式中的變量是sigmoid輸入的值。

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