Python光學仿真數(shù)值分析求解波動方程繪制波包變化圖
波動方程數(shù)值解
波動方程是三大物理方程之一，也就是弦振動方程，其特點是時間與空間均為二階偏導數(shù)。其自由空間解便是我們熟知的三角函數(shù)形式，也可以寫成自然虛指數(shù)形式。
一般來說，既然有了精確的解析解，那也就沒必要再去做不精確的數(shù)值模擬，但數(shù)值模擬的好處有兩個，一是避免無窮小，從而在思維上更加直觀；二是頗具啟發(fā)性，對于一些解析無解的情況也有一定的處理能力。
對此，我們首先考慮一維波動方程
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def set_y0(x,k,L): y = np.zeros_like(x) y[x<L] = np.sin(k*x[x<L])*np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L)) return y if __name__ == "__main__": x = np.linspace(0,10,1000) k = np.pi*2/1.064 L = 5 y = set_y0(x,k,L) plt.plot(x,y) plt.show()
其形狀為
現(xiàn)考慮讓這個光波在 [ 0 , L ] 范圍內(nèi)往返傳播，在此采用Dirichlet邊界條件，取
至此，我們得到了光場的所有信息，原則上可以預測這個波包的所有行為，其迭代過程為
def wave1d(x,t,k,L): dx = x[1]-x[0] dt = t[1]-t[0] d2 = (dt/dx)**2 y = np.zeros([len(t),len(x)]) y[0,:] = set_y0(x,k,L) y[1,:] = set_y0(x-dt,k,L) for n in range(2,len(t)): y[n] = 2*y[n-1] - y[n-2] - d2*2*y[n-1] y[n,1:] += d2*y[n-1,:-1] y[n,:-1] += d2*y[n-1,1:] #邊界條件 y[n,0] = 0 y[n,-1] = 0 return y
由于 y y y是隨時間變化的參量，現(xiàn)有的matplotlib.pyplot已經(jīng)無法滿足我們繪制動態(tài)圖片的需求，所以引入animation來進行繪制，其代碼為
import matplotlib.animation as animation
#輸入時間，自變量，因變量，圖題標記
def drawGif(t,x,ys,mark="time="):
tAxis = np.linspace(0,len(t)-1,100).astype(int)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111,xlim=(0,10),ylim=(-1.5,1.5))
ax.grid()
line, = ax.plot([],[],lw=0.2)
time_text = ax.text(0.1,0.9,'',transform=ax.transAxes)
def init():
line.set_data([],[])
time_text.set_text("")
return line, time_text
def animate(i):
y = ys[i]
line.set_data(x,y)
time_text.set_text(mark+str(t[i]))
return line, time_text
# 動態(tài)圖繪制命令
# 輸入分別為畫圖窗口，動畫函數(shù)，動畫函數(shù)輸入變量，延時，初始函數(shù)
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, tAxis,
interval=200, init_func=init)
#通過imagemagick引擎來保存gif
ani.save('wave.gif',writer='imagemagick')
plt.show()
if __name__ == "__main__":
x = np.linspace(0,10,1000)
t = np.linspace(0,12,2041)
k = np.pi*2/1.064
L = 5
y = wave1d(x,t,k,L)
drawGif(t,x,y)
得到結(jié)果為
這個圖雖然很符合我們的預期，但有些物理過程并不清晰，我們不妨把初始波包設(shè)置為只有一個波峰的孤波
def set_y0(x,k,L): y = np.zeros_like(x) y[x<L] = np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L)) return y
其圖像為
我們可以清晰地看到，正弦波通過腔壁后，其震動方向發(fā)生了變化，此即半波損失。
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