python算法學習雙曲嵌入論文方法與代碼解析說明
本篇接上一篇：python算法學習雙曲嵌入論文代碼實現(xiàn)數(shù)據(jù)集介紹
1. 方法說明
首先學習相關的論文中的一些知識，并結合進行代碼的編寫。文中主要使用Poincaré embedding。
對應的python代碼為：
def dist1(vec1, vec2): # eqn1 diff_vec = vec1 - vec2 return 1 + 2 * norm(diff_vec) / ((1 - norm(vec1)) * (1 - norm(vec2)))
損失函數(shù)
我們想要尋找最優(yōu)的embedding，就需要構建一個損失函數(shù)，目標是使得相似詞匯的embedding結果，盡可能接近，且層級越高（類別越大）的詞越靠近中心。我們需要最小化這個損失函數(shù)，從而得到embedding的結果。
其實在傳統(tǒng)的詞嵌入中，我們也是用上述的損失函數(shù)，但距離選用的是余弦距離。
梯度下降
后面將使用梯度下降方法進行求解迭代。
由于是將歐氏空間計算得到的梯度在黎曼空間中進行迭代，由上文的(1)式，我們有：
梯度求解
202111595310129
對應的更新函數(shù)在Python中設置如下：
# 范數(shù)計算 def norm(x): return np.dot(x, x) # 距離函數(shù)對\theta求偏導 def compute_distance_gradients(theta, x, gamma): alpha = (1.0 - np.dot(theta, theta)) norm_x = norm(x) beta = (1 - norm_x) c_ = 4.0 / (alpha * beta * sqrt(gamma ** 2 - 1)) return c_ * ((norm_x - 2 * np.dot(theta, x) + 1) / alpha * theta - x) # 更新公式 def update(emb, grad, lr): c_ = (1 - norm(emb)) ** 2 / 4 upd = lr * c_ * grad emb = emb - upd if (norm(emb) >= 1): emb = emb / sqrt(norm(emb)) - eps return emb
至此，我們就可以開始寫一個完整的訓練過程了。在這之前，再補充一個繪圖函數(shù)（可以看embedding的實際訓練情況）：
def plotall(ii):
fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
# 繪制所有節(jié)點
for a in emb:
plt.plot(emb[a][0], emb[a][1], marker = 'o', color = [levelOfNode[a]/(last_level+1),levelOfNode[a]/(last_level+1),levelOfNode[a]/(last_level+1)])
for a in network:
for b in network[a]:
plt.plot([emb[a][0], emb[b][0]], [emb[a][1], emb[b][1]], color = [levelOfNode[a]/(last_level+1),levelOfNode[a]/(last_level+1),levelOfNode[a]/(last_level+1)])
circle = plt.Circle((0, 0), 1, color='y', fill=False)
plt.gcf().gca().add_artist(circle)
plt.xlim(-1, 1)
plt.ylim(-1, 1)
fig.savefig('~/GitHub/hyperE/fig/' + str(last_level) + '_' + str(ii) + '.png', dpi = 200)
2. 代碼訓練過程
首先初始化embeddings，這里按照論文中寫的，用 ( − 0.001 , 0.001 ) (-0.001, 0.001) (−0.001,0.001)間的均勻分布進行隨機初始化：
emb = {}
for node in levelOfNode:
emb[node] = np.random.uniform(low = -0.001, high = 0.001, size = (2, ))
下面設置學習率等參數(shù)：
vocab = list(emb.keys()) eps = 1e-5 lr = 0.1 # 學習率 num_negs = 10 # 負樣本個數(shù)
接下來開始正式迭代，具體每一行的含義均在注釋中有進行說明：
# 繪制初始化權重
plotall("init")
for epoch in range(1000):
loss = []
random.shuffle(vocab)
# 下面需要抽取不同的樣本：pos2 與 pos1 相關；negs 不與 pos1 相關
for pos1 in vocab:
if not network[pos1]: # 葉子節(jié)點則不進行訓練
continue
pos2 = random.choice(network[pos1]) # 隨機選取與pos1相關的節(jié)點pos2
dist_pos_ = dist1(emb[pos1], emb[pos2]) # 保留中間變量gamma，加速計算
dist_pos = np.arccosh(dist_pos_) # 計算pos1與pos2之間的距離
# 下面抽取負樣本組（不與pos1相關的樣本組）
negs = [[pos1, pos1]]
dist_negs_ = [1]
dist_negs = [0]
while (len(negs) < num_negs):
neg = random.choice(vocab)
# 保證負樣本neg與pos1沒有邊相連接
if not (neg in network[pos1] or pos1 in network[neg] or neg == pos1):
dist_neg_ = dist1(emb[pos1], emb[neg])
dist_neg = np.arccosh(dist_neg_)
negs.append([pos1, neg])
dist_negs_.append(dist_neg_) # 保存中間變量gamma，加速計算
dist_negs.append(dist_neg)
# 針對一個樣本的損失
loss_neg = 0.0
for dist_neg in dist_negs:
loss_neg += exp(-1 * dist_neg)
loss.append(dist_pos + log(loss_neg))
# 損失函數(shù) 對 正樣本對 距離 d(u, v) 的導數(shù)
grad_L_pos = -1
# 損失函數(shù) 對 負樣本對 距離 d(u, v') 的導數(shù)
grad_L_negs = []
for dist_neg in dist_negs:
grad_L_negs.append(exp(-dist_neg) / loss_neg)
# 計算正樣本對中兩個樣本的embedding的更新方向
grad_pos1 = grad_L_pos * compute_distance_gradients(emb[pos1], emb[pos2], dist_pos_)
grad_pos2 = grad_L_pos * compute_distance_gradients(emb[pos2], emb[pos1], dist_pos_)
# 計算負樣本對中所有樣本的embedding的更新方向
grad_negs_final = []
for (grad_L_neg, neg, dist_neg_) in zip(grad_L_negs[1:], negs[1:], dist_negs_[1:]):
grad_neg0 = grad_L_neg * compute_distance_gradients(emb[neg[0]], emb[neg[1]], dist_neg_)
grad_neg1 = grad_L_neg * compute_distance_gradients(emb[neg[1]], emb[neg[0]], dist_neg_)
grad_negs_final.append([grad_neg0, grad_neg1])
# 更新embeddings
emb[pos1] = update(emb[pos1], -grad_pos1, lr)
emb[pos2] = update(emb[pos2], -grad_pos2, lr)
for (neg, grad_neg) in zip(negs, grad_negs_final):
emb[neg[0]] = update(emb[neg[0]], -grad_neg[0], lr)
emb[neg[1]] = update(emb[neg[1]], -grad_neg[1], lr)
# 輸出損失
if ((epoch) % 10 == 0):
print(epoch + 1, "---Loss: ", sum(loss))
# 繪制二維embeddings
if ((epoch) % 100 == 0):
plotall(epoch + 1)
3. 結果表現(xiàn)
結果如下所示（與論文有些不一致）：
實際上應該還是有效的，有些團都能聚合在一起，下面是一個隨機訓練的結果（可以看出非?；靵y）：
其他參考資料
Poincaré Embeddings for Learning Hierarchical Representations
Implementing Poincaré Embeddings
models.poincare – Train and use Poincare embeddings
How to make a graph on Python describing WordNet's synsets (NLTK)
networkx.drawing.nx_pylab.draw_networkx
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